Decompondo em (novos) primos 999....9999

Na linha n aparecem aqueles primos que dividem 10n-1 (o programa pari-gp forneceu fatoração para n<70) e não são divisores do número desta forma com expoente menor; portanto para tal primo p o número n é o comprimento do seu período.

Veja este artigo para explicação como estas decomposições determinam o comprimento do período da notação decimal de 1/p.


      1    3
      2    11
      3    37
      4    101
      5    41  271
      6    7  13
      7    239  4649
      8    73  137
      9    333667
     10    9091
     11    21649  513239
     12    9901
     13    53  79  265371653
     14    909091
     15    31  2906161
     16    17  5882353
     17    2071723  5363222357
     18    19  52579
     19    1111111111111111111
     20    3541  27961
     21    43  1933  10838689
     22    23  4093  8779
     23    11111111111111111111111
     24    99990001
     25    21401  25601  182521213001
     26    859  1058313049
     27    757  440334654777631
     28    29  281  121499449
     29    3191  16763  43037  62003  77843839397
     30    211  241  2161
     31    2791  6943319  57336415063790604359
     32    353  449  641  1409  69857
     33    67  1344628210313298373
     34    103  4013  21993833369
     35    71  123551  102598800232111471
     36    999999000001
     37    2028119  247629013  2212394296770203368013
     38    909090909090909091
     39    900900900900990990990991
     40    1676321  5964848081
     41    83  1231  538987  201763709900322803748657942361
     42    127  2689  459691
     43    173  1527791  1963506722254397  2140992015395526641
     44    89  1052788969  1056689261
     45    238681  4185502830133110721
     46    47  139  2531  549797184491917
     47    35121409  316362908763458525001406154038726382279
     48    9999999900000001
     49    505885997  1976730144598190963568023014679333
     50    251  5051  78875943472201
     51    613  210631  52986961  13168164561429877
     52    521  1900381976777332243781
     53    107  1659431  1325815267337711173  47198858799491425660200071
     54    70541929  14175966169
     55    1321  62921  83251631  1300635692678058358830121
     56    7841  127522001020150503761
     57    21319  10749631  3931123022305129377976519
     58    59  154083204930662557781201849
     59    2559647034361  4340876285657460212144534289928559826755746751
     60    61  4188901  39526741
     61    733  4637  329401  974293  1360682471  106007173861643  7061709990156159479
     62    909090909090909090909090909091
     63    10837  23311  45613  45121231  1921436048294281
     64    19841  976193  6187457  834427406578561
     65    162503518711  5538396997364024056286510640780600481
     66    599144041  183411838171
     67    493121  79863595778924342083  28213380943176667001263153660999177245677
     68    28559389  1491383821  2324557465671829
     69    277  203864078068831  1595352086329224644348978893
     70    4147571  265212793249617641


Estes dados permitem estabelecer os comprimentos de períodos para alguns p maiores de 70. Por exemplo, 109 é primo e o seu período tem de ter por seu comprimento um dos seus divisores: 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 108. Já que linhas com números 2,...,54 não contém 109, o comprimento é 108.


Fpolis, 2010