Teorema de Ptolomeu

Precisamos de um quadrilátero inscrito em uma circunferência para poder aplicar o teorema sobre igualdade dos ângulos vistos da mesma corda. As letras maiúsculas denotam os comprimentos dos segmentos, as letras minúsculas – os correspondentes ângulos vistos dos segmentos considerados como cordas.

Para tal quadrilátero temos a seguinte relação entre os comprimentos dos lados e das diagonais:

AC+BD=MN

Eis a demonstação.

Cada um dos ângulos a,b,c,d aparece duas vezes – marcamo-nos para todas as possibilidades, assim como isto é feito para o ângulo a no seguinte esboço.

Recebemos este efeito:

Agora na diagonal N achamos o ponto que produz mais uma vez o ângulo c.

Este ponto separa a diagonal N em dois segmentos, portanto temos N=X+Y.

Usamos a semelhança dos triângulos que têm os ângulo a e c.

Em seguida, usamos a semelhança dos triângulos que têm os ângulos a e b+c. Duas linhas de cálculos terminam a demonstração.