Parę elementarnych uwag o szkicu 1 może ujawnić jak pojawiają się tożsamości trygonometryczne, użyteczne w poszukiwaniu kątów Herona.

Poniższy półokrąg ma promień  1.

Zacznij od tego co najczęściej dzieje się w nauczaniu geometrii. Oznacz długości prawie wszystkich odcinków z rysunku:

1, 2, sin a, cos a, tg (a/2) x, y.

Gotowe? I teraz nie potrafisz już dostrzec czegokolwiek? Doskonale, to wyrzuć te wszystkie dodatki i zacznij od nowa, dodając rysunków do woli ale jak najoszczędniej wprowadzając nazwy obiektów. Przy okazji, do napisania ,,tg(a/2)'' potrzebuję 7 znaków graficznych. Może warto więc wprowadzić skrótową notację: tg(a/2) = w ?

Zaczynam od oglądania powyższego rysunku. Kąt pod zielonym odcinkiem mierzy a. Dlaczego kąt z lewej strony mierzy a/2?

Dlaczego niebieski trójkąt jest prostokątny?

Powtórzę szkic obu trójkątów prostokątnych mających jeden z kątów o mierze a/2. Zamierzam wyrazić x, y poprzez funkcje (trygonometryczne) zmiennej a. Oczywiście, używam twierdzenia Pitagorasa. Dokładniej, w rachunku używam go trzykrotnie.

Kiedy używam go trzeci raz?

Czy twoje wyniki też są takie:  x² = 2(1+cos a),   y² = 1+w² ?

Z kolei korzystam z podobieństwa trójkątów ze szkiców 3 i 4:

Widzę, że x/2 = 1/y. Za parę linijek wykorzystam to, że yx=2 ale teraz potrzebuję tego w tej postaci: x² = 4/(y²). Mogę pozbyć się x², y² dzięki otrzymanym uprzednio wzorom i natychmiast dochodzę do tego wzoru:

cos a = (1 - w²)/(1 + w²)

Następnie szukam ,,bliźniaczego wzoru'', który przedstawiłby sin a w podobny sposób. Korzystam z podobieństwa trójkątów ze szkiców 2 i 3:

(sin a)/w = x/y  - lub, co jest mi wygodniejsze, sin a = (yxw)/(y²). Pojawia się bliźniak:

sin a = (2w)/(1 + w²).

Jak ,,odwrócić'' te wzory, przedstawiając w za pomocą sin a i cos a ? Wracam do rysunków 2 i 3, tym razem zapisując relację podobieństwa między ich przyprostokątnymi:

tg (a/2) = (sin a)/(1 + cos a).

No i teraz dostanę kąty Herona za darmo.